从洞渊到李冶 ， 分式方程逐渐得到发展.而朱世杰 ， 则突破了有理式的限制 ， 开始处理无理方程.其次是高阶等差级数的研究.沈括的隙积术开研究高阶等差级数之先河 ， 杨辉给出包括隙积术在内的一系列二阶等差级数求和公式.朱世杰则在此基础上依次研究了二阶、三阶、四阶乃至五阶等差级数的求和问题 ， 从而发现其规律 ， 掌握了三角垛统一公式.他还发现了垛积术与内插法的内在联系 ， 利用垛积公式给出规范的四次内插公式.第三是几何学的研究.宋代以前 ， 几何研究离不开勾股和面积、体积.蒋周的《益古集》也是以面积问题为研究对象的.李冶开始注意到圆城因式中各元素的关系 ， 得到一些定理 ， 但未能推广到更一般的情形.朱世杰不仅总结了前人的勾股及求积理论 ， 而且在李冶思想的基础上更进一步 ， 深入研究了勾股形内及圆内各几何元素的数量关系 ， 发现了两个重要定理--射影定理和弦幂定理.他在立体几何中也开始注意到图形内各元素的关系.朱世杰的工作 ， 使得几何研究的对象由图形整体深入到图形内部 ， 体现了数学思想的进步 。

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