投影后面的数学，你了解多少？( 三 ) _小知识

其实这种“穿越”现象在手电影里并不罕有。试想一下，你竖起左手食指，用右手食指在左手食指后方从右至左横标的目的移动。这个时辰，在墙面上看到的影像是怎么样的呢？你会发现右手食指的影像穿越了左手食指的影像。我们之所以对这类景象的穿越现象不感应奇异，是因为二维和三维空间可以获得准确无误的直不雅理解。可是前面的例子涉及四维空间，所以此中的几何图形就很难准确地构思清晰。

更高维度的空间中的曲面是否也能投影到三维空间中呢？这个有趣问题和曲线景象很是近似，但有所分歧。起首，这样的曲面可以很好地被投影到五维空间中。这种投影不会挤压坏曲面，独一的改变仅仅是压缩了布景空间的维度。是以当我们把曲面投影到五维空间中，曲面所有的几何信息都能被很好地保留下来。（作者注：严酷地说，这里的曲面是代数曲面，就是可以用多项式方程组界说的曲面，读者可以不去管这些细节问题。后面不再出格声明。）
五维空间到四维空间的投影一般却无法包管曲面不会被压坏。可是我们可以选择一个恰当的位置放电灯胆，使得投影到四维空间的影像曲面上被挤压坏的部门是若干个点（我们把它们叫做“奇点”）且比力简单，局部都形如以下的样子。

然后我们再把这种带奇点的曲面进一步投影到三维空间中。只要灯胆位置选的恰当，曲面在三维空间中的影像被压坏的部门不会太糟糕，它大致有如下三种局部景象

三重点结点拧点
更一般的，一个高维空间中的维几何物体（严酷地说，是指代数簇，就是用多项式方程组界说的几何图形）都可以经由过程投影慢慢地映入到2r+1 维空间中，该投影发生的独一转变仅仅是压缩了布景空间的维度，并不损掉几何物体的所有信息。
有限投影
前面我们考查了若何把一条曲线投影到平面里，若是进一步把平面曲线投影到直线（一维空间）上，会有什么现象呢？这里举几个例子来看一下。
例三、球极投影

我们在圆圈的海说神聊顶点放电灯胆，朱颜色的直线代表光线。这个投影把圆圈上每个点(除了海说神聊顶点外)独一地投影到直线上的某个点，反之亦然。若是我们在直线外添上无限远点∞ ，那么海说神聊顶点N刚好对应了∞ 。这样，在上述投影上，圆圈和扩充直线间的点一一对应。
例四、二次投影

我们把电灯胆移到圆心上，此时的投影与前一例有所分歧。你会发现，过点光源O的每条光线都经由过程圆圈上的一对对径点，并将它们投影到直线上统一点(好比P1,P2经由过程一条光线投影到P’) 。是以这个投影是2:1 的，我们简称其为二次投影。
一般说来，曲线到直线（也就是一维空间）上的投影都是有限多个点映到统一个点。这种现象也可以推广到曲面景象。一个曲面也能投影到平面（二维空间）上。这里也举几例。
例五、曲面的二次投影（红虚线代表光线）

投影后面的数学，你了解多少？( 三 )

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