等周定理：一个爱情悲剧里的数学问题( 三 ) _小知识

的极值。
在解决等周问题时，我们就需要找到曲线t→(x(t), y(t))，在给定周长

的前提下，使面积

最大化，运用拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier Method）机关函数：

并求出

的极值。
变分法的关头是欧拉方程（Euler Equation），即经由过程使一阶导为零求得极值点，别离化简 x 与 x’ 的欧拉方程求得最终解，这显然是圆参数方程的一种形式。

02投影法证实
施密特（ Erhard Schmidt）的投影法证实方式的怪异之处在于，运用投影的方式将不法则图形与圆周相联系，具体做法是将简单闭曲线α所围当作的区域夹在两平行直线之间，在两直线间作一半径为r的圆周β，以圆心为原点，y轴与直线平行成立平面直角坐标系，令

，

，这样就可以计较它们各自的面积。此中，s为曲线α的弧长参数，A为曲线α围当作的面积。

【等周定理：一个爱情悲剧里的数学问题】将原曲线投影到圆周上
将两者面积相加，运用柯西不等式进行放缩，在计较过程中需要注重一个隐含前提，因为对原曲线作了弧长参数化处置，则有弧长参数x'2+y'2=1，计较时可进行化简，最终求得等周不等式，当等号当作立时 A= πr2，L=2πr，是以原曲线围当作的就是一个圆。

说了这么多，等周定理到底有什么用呢？操纵最短的线围出最大的面积是其在日常糊口中最为常见的应用。等周定理不像莫比乌斯环、哥尼斯堡七桥问题、四色问题等这么为人熟知，但它在鞭策学术研究上具有主要价值，例如该定理可用来进行特征值估量，解决流体机械中的流化感化相关的问题等。感乐趣的小伙伴可以进行更深切的研究。
回首等周定理的各类证实，数学家和文学家的思维一样灵敏而自由，同样的事物在他们眼中会酿成分歧的风光，分歧的方式让我们可以从分歧的角度去理解统一个事实，这往往指导出数学上分歧的成长。
王国维在《人世词话》中将词分为有我之境与无我之境，借用丘当作桐师长教师的不雅点，数学研究当然也有境界的概念，在某种水平上也可谈有我之境、无我之境。等周问题生发于实际中的买地问题，由糊口指导，可谓无我之境；但随后数学家们不懈的证实鞭策理论的成长，可谓有我之境矣。

参考文献
[1] https://math.berkeley.edu/~hutching/pub/bubbles.html.
[2] https://v.qq.com/x/page/j0915p3fxyh.html.

等周定理：一个爱情悲剧里的数学问题( 三 )

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