虚数到底有什么意义？从 i 说起( 二 ) _小知识

45度的航标的目的就是 1 + i 。计较新航标的目的，只要把这两个航标的目的 3 + 4i 与 1 + i 相乘就可以了（原因鄙人一节诠释）：
( 3 + 4i ) * ( 1 + i ) = ( -1 + 7i )
所以，该船的新航标的目的是 -1 + 7i 。
若是航标的目的逆时针增添90度，就更简单了。因为90度的航标的目的就是 i ，所以新航标的目的等于：
( 3 + 4i ) * i = ( -4 + 3i )
这就是虚数乘法的物理意义：改变扭转角度。
五
虚数乘法的数学证实
为什么一个复数改变扭转角度，只要做乘法就可以了？
下面就是它的数学证实，现实上很简单。

任何复数 a + bi ，都可以改写当作扭转半径 r 与横轴夹角 θ 的形式。
假定现有两个复数 a + bi 和 c + di ，可以将它们改写如下：
a + bi = r1 * ( cosα + isinα )
c + di = r2 * ( cosβ + isinβ )
这两个复数相乘， ( a + bi )( c + di ) 就半斤八两于
r1 * r2 * ( cosα + isinα ) * ( cosβ + isinβ )
睁开后面的乘式，获得
cosα * cosβ - sinα * sinβ + i( cosα * sinβ + sinα * cosβ )
按照三角函数公式，上面的式子就等于
cos(α+β) + isin(α+β)
所以，
( a + bi )( c + di )　＝　r1 * r2 * ( cos(α+β) + isin(α+β) )
这就证实了，两个复数相乘，就等于扭转半径相乘、扭转角度相加。
本文来历于阮一峰的收集日记，戳“http://www.ruanyifeng.com/blog/2012/09/imaginary_number.html”可查看。
撰文 | 阮一峰
《返朴》，科学家领航的好科普。国际闻名物理学家文小刚与生物学家颜宁配合出任总编纂，与数十位分歧范畴一流学者构成的编委会一路，与您配合求索。

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虚数到底有什么意义？从 i 说起( 二 )

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