重心，垂心，外心，内心平面向量和三角形四心的关系及证明。 _四心

重心中线交点，垂心高的交点，外心中垂线交点，内心角平分线交点。
1、若P是△ABC的重心 PA+PB+PC=0
2、若P是△ABC的垂心 PA?PB=PB?PC=PA?PC(内积）
3、若P是△ABC的内心 aPA+bPB+cPC=0(abc是三边）
4、若P是△ABC的外心 |PA|2=|PB|2=|PC|2
（AP就表示AP向量 |AP|就是它的模）
5、AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞) 则直线AP经过△ABC内心
6、AP=λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞) 经过垂心
7、AP=λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞）
或 AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+ ∞) 经过重心
8、若aOA=bOB+cOC,则0为∠A的旁心,∠A及∠B,C的外角平分线的交点

扩展资料：
三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心) 。
证明
三角形的三条角平分线必交于一点
己知：在△ABC中，∠A与∠B的角平分线交于点O，连接OC
求证：OC平分∠ACB
证明：过O点作OD,OE,OF分别垂直于AC,BC,AB,垂足分别为D,E,F
【重心，垂心，外心，内心平面向量和三角形四心的关系及证明。】∵AO平分∠BAC,∴OD=OF；∵BO平分∠ABC,∴OE=OF ；∴OD=OF
∴O在∠ACB角平分线上 ∴CO平分∠ACB
性质
1、三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心
2、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r
3、r=2S/(a+b+c)
4、在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．
5、∠BOC = 90 °+∠A/2，∠BOA = 90 °+∠C/2，∠AOC = 90 °+∠B/2
6、S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)
参考资料来源：百度百科-三角形的四心

重心，垂心，外心，内心 平面向量和三角形四心的关系及证明。

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