讲解线性函数的定义非线性函数的性质 _拟合

拟合是用一个连续函数（曲线）靠近给定的离散数据，使其与给定的数据相吻合。数据拟合的算法相对比较简单，但调用不同工具和方法时的函数定义和参数设置有所差异，往往使小白感到困惑。本文基于 Scipy 工具包，对单变量、多变量线性最小二乘拟合，指数函数、多项式函数、样条函数的非线性拟合，单变量、多变量的自定义函数拟合问题进行分析、给出完整例程和结果，数据拟合从此无忧。1. 数据拟合在科学研究和工程应用中经常通过测量、采样、实验等方法获得各种数据。对一组已知数据点集，通过调整拟合函数（曲线）的参数，使该函数与已知数据点集相吻合，这个过程称为数据拟合，又称曲线拟合。
插值和拟合都是根据一组已知数据点，求变化规律和特征相似的近似曲线的过程。但是插值要求近似曲线完全经过所有的给定数据点，而拟合只要求近似曲线在整体上尽可能接近数据点，并反映数据的变化规律和发展趋势。因此插值可以看作是一种特殊的拟合，是要求误差函数为 0 的拟合。
1.1 数据拟合问题的分类数据拟合问题，可以从不同角度进行分类：
按照拟合函数分类，分为线性函数和非线性函数。非线性函数用于数据拟合，常用的有多项式函数、样条函数、指数函数和幂函数，针对具体问题还有自定义的特殊函数显示。按照变量个数分类，分为单变量函数和多变量函数。按照拟合模型分类，分为基于模型的数据拟合和无模型的函数拟合。基于模型的数据拟合，是通过建立数学模型描述输入输出变量之间的关系，拟合曲线不仅能拟合观测数据，拟合模型的参数通常具有明确的物理意义。而无模型的函数拟合，是指难以建立描述变量关系的数学模型，只能采用通用的函数和曲线拟合观测数据，例如多项式函数拟合、样条函数拟合，也包括机器学习和神经网络模型，这种模型的参数通常没有明确的意义。1.2 数据拟合的原理和方法数据拟合通过调整拟合函数中的待定参数，从整体上接近已知的数据点集。
这是一个优化问题，决策变量是拟合函数的待定参数，优化目标是观测数据与拟合函数的函数值之间的某种误差指标。典型的优化目标是拟合函数值与观测值的误差平方和；当观测数据的重要性不同或分布不均匀时，也可以使用加权误差平方和作为优化目标。
数据拟合的基本方法是最小二乘法。对于观测数据 ( x i , y i ) , i = 1 , . . n，将观测值 y i与拟合函数 y = f ( x , p ) 的计算值 f ( x i ) 的误差平方和最小作为优化问题的目标函数：
( p 1 , ? p m ) 是拟合函数中的待定参数。
对于线性拟合问题，设拟合函数为直线 f ( x ) = p 0p 1 ? x ，由极值的必要条件 $ partial J/partial p_j = 0,; (j=0,1)$ 可以解出系数 p 0 , p 1 ：

讲解线性函数的定义 非线性函数的性质

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