有理数和无理数的定义有理数和无理数的区别( 二 ) _有理数

需要，之所以说这几个集合基数相等，是因为它们还有一个共同的特点：可数。
所谓可数，可以理解为能够找到一种规则把所有的数列出来，然后就可以按着这个顺序一直数下去。
比如自然数，0,1,2,3,4,5……，比如偶数，0,2-2,4-4,6-6……而只要能全部列出来，就可以建立一一对应的关系，依次按顺序对应就好了，甚至都不用弄明白具体的规则是什么，所以只要是可数无穷，就可以说集合里元素数量是一样多的。
NO.3有理数可数吗？可数
有理数可以表示为q/p的形式，取正有理数部分，我们可以按p q的值由小到大来列出所有正有理数，具体的顺序可以参照下图。
按上述规则，可列出所有正有理数，负有理数亦可以列出来。
所以有理数集也是可数集。
补充一下可数集概念：能与自然数集建立一一对应关系的集合。
可数集的基数是最小的无穷量，康托尔把这个量记为?0（希伯来文，读作“阿列夫零”）。同时康托尔指出，阿列夫零是最小的无穷量，那比阿列夫零更大的无穷在哪呢？
NO.4上场吧！无理数无理数可数吗？或者说实数可数吗？
答案是：NO
康托尔运用对角线法来论证这一点，证明过程很短，却堪称精妙绝伦！（妈妈问我为何跪下看书系列）
考虑整个实数集是否可数，我们先考虑0-1之间的所有实数是否可数。假设存在某种规则能够列出0-1之间的所有实数：
0.1598545445……
0.6589745454……
0.5968974132……
0.9887946456……
0.3521587487……
0.1659842412……
……
以上的数随便写的，此时康托尔问，0.267865……在什么位置？
这个数是怎么取的呢？取第一个数的第一位小数加1，取第二个数的第二位小数加1，取第三个数的第三位小数加1，取第四个数的第四位小数加1……，也就是上面数中红色的数字加1 。
假如0.267865……在第n个位置上，则它的第n位小数应该等于第n个数（也就是它自身）的第n位小数加1 。
简单说，这个数的第n位小数等于它本身第n位小数加1 。显然这是不可能存在的！
所以不存在任何一种方法能够把0-1之间所有的实数全部列举出来，当然也不可能存在一种方法能够把全体实力列出来。
像这样的无穷称为不可数无穷，不管你承认还是不承认，同样是无穷，也能分出不同种类。无理数集、实数集称为不可数集。
在数轴上任取一段线段，由这些连续着的点构成的集合均为不可数集，又称连续统。基数记为c 。
NO.5 c=?1 既然已经明确了有理数代表着可数无穷，而无理数则代表着不可数无穷，那可数与不可数到底谁更多呢？换句话说，?0与c谁更大呢？

有理数和无理数的定义 有理数和无理数的区别( 二 )

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