有理数和无理数的定义有理数和无理数的区别( 三 ) _有理数

事实上，从概率的角度来看，在数轴上任取一点，取到有理数的概率为0 。
无理数是无限不循环小数，有理数包含整数、有限小数和无限循环小数，我们可以把整数和有限小数看成后面的小数位均为0的数，举个例子，1.8=1.800000……，后面的小数位都是0 。
现在我们给一个数填充小数位，有无数个小数位需要我们填充，而填充的数字都是随机取的，所以说都取0或者说取到一列循环数的概率为0 。借助于这样一个想法，无理数不仅比有理数多，而且多得多！
怎么样能够比无穷还要多？
对于集合{1}，它有两个子集：空集、{1}，子集组成的集合的基数为2^1；对于集合{1,2}，它有四个子集空集、{1}、{2}、{1，2}，子集组成的集合的基数为2^2，以此类推，若一个集合的基础为n，则其子集构成的幂集基数是2^n 。
那如果原集合的基数是?0呢？
事实上，康托尔已经证明出，c=2^?0，这里的?0是无穷大的，所以能想象c有多大吗？
康托尔所做的事情不止于此，他还猜想，在?0和c之间不存在其他的无穷，即在?0后的下一个无穷量便是c，即c=?1（?1即?0后一个无穷量），这就是著名的“连续统假说” 。1900年世界数学家大会上，希尔伯特把这个问题排在了20世纪23大有待解决的重要数学问题之首。
NO.6 数轴上见分晓！关于数轴，我们都知道数轴上的点与实数是一一对应的，或许会存在这样的想法，任意两个有理数之间还存在无数个有理数，此外有理数与有理数之间还会有缝隙，那便是无理数，这个缝隙有多少并不为我们所知，但两有理数之间还存在着无数个有理数是必然的。
所以有人会说有理数像砖，构成了数轴的主体，无理数像是胶水，把砖与砖之间的缝隙补充完整，构成一条完整的数轴。
从两者的数量对比来看，显然以上的想法大错特错，无理数更像是构成数轴的砖，占据着数轴的绝大部分。说来说去其实就是这么一个问题：有理数和无理数在数轴上是如何分布的？
借用一下狄利克雷函数：
这就是把有理数与无理数作个分离，那函数图像长啥样？也许是这样？
显然这只能是一种美好的想象，要是能画出来就好了，我就知道有理数和无理数如何分布了。真实存在却画不出来说得就是这个函数，数轴上见不了分晓。
NO.7 可数无穷的可加性说了老半天可数与不可数，却连数轴上的都无法作划分，区别这两个无穷又有什么意义？
有些时候是得区分一下的，比如在解释什么叫长度的时候。
线段由点构成，那为什么点的长度为0而线段长度却不为0？
造成这一误解的主要原因是我们错误地以为既然线段由点构成，那线段的长度就等于点的长度之和。即不断地计算0 0 0 0 ……，按这么算结果应该始终为0才对。

有理数和无理数的定义 有理数和无理数的区别( 三 )

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