欧几里德之后 ， 笛卡尔发明了解析几何 ， 牛顿和莱布尼茨发明了微积分 。 两者之结合使得那个时代的数学和物理如虎添翼 ， 面目一新 。 像罗巴切夫斯基那样使用传统的公理方法来研究几何 ， 显然要输人一筹 。 欧拉、克莱洛、蒙日以及高斯等人认识到了这一点 ， 创立并发展了微分几何 。
微分几何的先行者、法国数学家亚历克西斯·克莱洛（Alexis Clairaut ， 1713 - 1763）对空间曲线进行了深入研究 ， 第一次研究了空间曲线的曲率和挠率（当时被他称之为双重曲率） 。
什么是曲线的曲率和挠率？我们从图1a所示的三条平面曲线来认识曲率 。 图中的三条曲线 ， 就像是三条形状不同的平地上的高速公路 。

我们首先需要引进曲线的切线 ， 或称之为“切矢量”的概念 。 切矢量即为 ， 当曲线上两点无限接近时 ， 它们的连线的极限位置所决定的矢量 。 图1a所示的公路上标示的箭头 ， 便是在曲线上各个点切矢量的直观图像 。 而曲率是什么呢？曲率表征曲线的弯曲程度 。 比如 ， 图1a中最上面一条公路是直线 ， 直线不会拐弯 ， 我们说 ， 它的弯曲程度为0 ， 即曲率等于0 。 切矢量旋转得越快 ， 曲线的弯曲程度也越大 。 所以 ， 数学上就把曲率定义为曲线的切矢量对于弧长的旋转速度 。
平地上弯弯曲曲的公路可以看作是平面曲线 ， 用“曲率”就可以描述它们 。 如果公路是修建在山区中 ， 它们一边转弯一边还要盘旋向上或者向下 。 这时候 ， 汽车驶过的路径便不再是平面曲线 ， 而是空间曲线了 。 对于山间的公路 ， 如图1b所示 ， 我们除了可以看到其弯曲的程度之外 ， 还能观察到公路往上（或者向下）绕行的快慢 。 我们将这个描述绕行快慢的几何量叫做“挠率” 。
一条空间曲线的曲率和挠率在空间的变化规律完全决定了这条曲线 。
从上面对空间曲线的研究 ， 可以看出微分几何的方法比欧氏几何公理式的方法要强有力多了 。 与曲线类似 ， 微分几何也能用以研究曲面 ， 曲率和挠率的概念 ， 也能推广到曲面上 ， 去定义复杂得多的曲率张量 。



曲面的形状变幻无穷 ， 按照我们感兴趣的性质 ， 可以将其分为两大类：可展曲面和不可展曲面 。 初看图2a和图2b所画出的曲面 ， 也许你看不出这两类图形有何区别 。 它们都是从三维空间看到的形状 。 不管可展还是不可展 ， 看起来不都是“弯曲的”、“不平的”吗？然而 ， 如果你再仔细观察 ， 就会发现 ， 可展曲面的“弯曲”与不可展曲面的“弯曲”有着本质的区别 。 简单地说 ， 可展曲面在本质上是“平的” ， 它们可以被展开成一个平面 。 比如 ， 将图2b所示的锥面 ， 用剪刀剪一条线直到顶点 ， 就可以没有任何皱褶地将它平摊到桌子上 。 柱面也可以沿着与中心线平行的任何直线剪开 ， 成为一个平面 。
但是 ， 图2a所列举的不可展曲面 ， 就不能展开成平面了 。 那是真正的、本质上的“不平” 。 一顶做成了近似半个球面的帽子 ， 你无论怎样剪裁它 ， 都无法将其没有皱褶地摊成一个平面 。 另一方面 ， 你用一张平平的纸 ， 很容易卷成一个圆筒（柱面） ， 或者是做成一顶锥形的帽子 ， 但你无法做出一个球面来 。 你顶多只能将这张纸剪成许多小纸片 ， 粘成一个近似的球面！
谈到这儿 ， 你大概已经基本明白了“可展”和“不可展”的区别到底是什么 。 尽管两类曲面在嵌入3维空间之后看起来都是弯曲的 ， 但是 ， 可展曲面的内在本质是“平的” ， 不可展曲面的内在本质是“不平” 。 区分这两类曲面“内在本质”的概念叫做“内蕴性” ， 研究这种性质的几何叫做内蕴几何 。

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