如果研究对象不是标准的球面 ， 而是一般的2维曲面 ， 上述“角度亏损θ正比于区域面积A”的结论在大范围内不能成立 ， 但在2维曲面某个给定的P点附近 ， 当绕行的回路趋近于无限小的时候仍然成立 。 也就是说：无限小的角度亏损dθ将正比于无限小的区域面积dA：dθ = α*dA 。 这时的α= dθ/dA ， 便是曲面上这一点的曲率 。
阿扁也想通了这些道理 ， 明白他的世界不是球面 ， 而大多数地方都是平面 ， 只有一点不对 ， 那一点附近的空间是弯曲的 。
阿扁将上面有关曲面曲率与无限小平行移动角度亏损的关系（α= dθ/dA）用到锥面 。 因为锥面是一个可展曲面 。 它所有地方的几何都与平面上的欧几里德几何一样 ， 除了那个顶点以外 。 也就是说 ， 锥面上每个点的曲率都等于0 ， 但顶点是一个曲率等于无穷大的奇点 。
【读懂相对论， 从弯曲空间的几何开始？】有了这些数学知识 ， 阿扁恍然大悟：原来我生活的世界是一个锥面！

人类是三维空间的生物 ， 我们的世界是三维的 。 就像前面所描述的“阿三” ， 当然要比那个可怜的平面生物“阿扁”高明多了 。 阿扁反复测量了许多次 ， 用他的2维扁平脑袋 ， 作了极端困难的“抽象” ， 才弄明白了他的锥面世界！而我们在3维世界中看2维就能看得非常清楚了：锥面是一个可展曲面 ， 或者说 ， 本来就是由阿三将一张平面的“纸”剪去了一个角而粘成的 。 因此 ， 我们瞄一眼就知道 ， 阿扁的锥面世界处处都是平坦的 ， 除了那一个顶点O之外 。
在锥面上作平行移动时 ， 为什么当移动路径包括了顶点O的时候就会有角度亏损呢？从我们的3维世界更容易理解这个问题 。 在图6a中 ， 我们将锥面从顶点剪开后重新展开还原成一个平面图形 。 这个“剪去一角的平面图形”与整个欧几里德平面的区别在于 ， 图中的A和B是锥面上的同一点 ， 因此 ， 直线OA和OB需要被理解为是同一条线 。 这样 ， 我们就明白了角度亏损的来源 。
（作者：张天蓉 ， 德克萨斯州大学奥斯汀分校理论物理博士）

以上内容就是读懂相对论 ， 从弯曲空间的几何开始？的内容啦 ， 希望对你有所帮助哦！

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