读懂相对论，从弯曲空间的几何开始？( 四 ) _小知识

上面的两个例子说明，矢量在曲面上平行移动一周之后，不一定还能保持原来的方向，可能与出发时有所差别。这个差别正好与曲面的高斯曲率有关系，反映了曲面内在的弯曲程度。
阿扁的世界
下面，我们研究锥面上的平行移动，看看锥面与“真正的平面”有何不同。让我们想象有一个极小极扁的平面生物“阿扁” ，生活在一张平坦的纸上，如图5a 。阿扁使用直角坐标系对他的平坦世界进行观察和测量。他感受到的几何，是标准的欧几里德几何：三角形的三个内角之和等于180度；过不在同一直线上的三点，可以作一个圆；直角三角形的两条直角边的长度的平方和等于斜边长的平方……
阿扁学过微积分，还会计算许多图形的面积。阿扁经常在他的平坦世界中驾车旅行，绕行一圈回来之后，他车上的陀螺仪方向总是与原来方向相同，如图5a所示的那样。
有一天，来了一个3维世界的小生物“阿三” 。阿三看中了阿扁生活的这张纸，并且灵感突发，把这张纸剪去了一个角。比如说，像图5b中图所画的情形，剪去了一个45度的角，然后将剩余图形的两条剪缝黏在一块儿，做成了一个图5c所示的锥面。阿扁是个2维小爬虫，他看不见阿三，也感觉不到阿三的存在，更不可能知道阿三对他的世界干了些什么。
不过，生活在纸上的阿扁并没有立即感到他的世界有什么变化。照样是欧氏几何，他画的直角坐标轴仍然在那儿。当他拿着他的（平面）陀螺仪，沿着他的小圆圈（如图5b中的C1那样）旅行，进而回到原来出发点的时候，陀螺仪的指向和原来一样。这说明，矢量平行移动的规律好像没有任何改变。

阿扁的技术越来越高，胆子越来越大，旅游路线也走得越来越远。他逐渐发现了一些问题。比如说，当他沿着图5b中所示的C2那样的曲线走一圈回到原出发点时，他的陀螺仪的指向和出发时有了一个45度的角度差。这个新发现令阿扁既激动又困惑。于是，他进行了更多的带陀螺仪绕圈实验，绕了好多个不同的圈，终于总结出了一个规律：他生活的世界中，在右图中所标记的点O附近，是一个特殊的区域，只要他移动的闭曲线中包含了这个区域，陀螺仪的指向就总是和原来出发时的方向相差45度左右。如果行走的圈没有包括这个点的话，便不会使陀螺仪的方向发生任何改变。当时的阿扁，技术还不够精确，还没有搞清楚这个区域是多大，况且，他也有点害怕那块神秘兮兮的地方，不敢在那儿逗留过久，作太多的探索，以防遭遇生命危险。
阿扁喜欢读书学习新知识，他从一本数学书中了解到，如果陀螺仪走一圈方向改变的话，说明你所在的空间是弯曲的。因此，通过对多次实验结果的总结归纳，阿扁提出一个假设：他所在的世界基本是平坦的，除了那块该死的区域之外！
再回到我们的世界来看待球面几何。陀螺仪走一圈后方向改变的值，叫做平行移动一周后产生的角度亏损，可用θ表示。角度亏损与空间的高斯曲率有关，一个标准球面上的高斯曲率处处相等。因此，如果有某种生活在球面上的扁平生物的话，他沿任何曲线绕行一圈后，陀螺仪方向都会有变化，而且，角度亏损θ是不固定的，它与绕行回路所包围的球面面积A成正比，其比例系数对球面而言是一个定植，就等于曲面的高斯曲率α 。角度亏损θ = α*A 。

读懂相对论， 从弯曲空间的几何开始？( 四 )

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